The Fourier Transform

Pure mathematics is much more than an armory of tools and techniques for the applied mathematician. On the other hand, the pure mathematician has ever been grateful to applied mathematics for stimulus and inspiration. From the vibrations of the violin string they have drawn enchanting harmonies of Fourier Series, and to study the triode valve they have invented a whole theory of non-linear oscillations.

George Frederick James Temple In 100 Years of Mathematics: a Personal Viewpoint (1981).


The Fourier Transform (FT) is an integral transform, a powerful mathematical tool to map a function from its original space representation into another function space (called, in this case, the Fourier space). In the time domain, the Fourier space is the frequency and in the Cartesian domain is the so-called reciprocal space. The FT is accomplished by integrating the given function in its original space. The advantage of the FT is that in the transformed space, the properties of the original function can usually be characterised and manipulated more quickly than in the original function space. The FT function can generally be mapped back to the original function space using the inverse FT.

The FT plays an important role in pure and applied science, computer science, electronic engineering, and medicine. In this lecture, I will shortly introduce the mathematics of the FT and then show some examples of practical applications.

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The Fourier Series

Pure mathematics is much more than an armory of tools and techniques for the applied mathematician. On the other hand, the pure mathematician has ever been grateful to applied mathematics for stimulus and inspiration. From the vibrations of the violin string they have drawn enchanting harmonies of Fourier Series, and to study the triode valve they have invented a whole theory of non-linear oscillations.

George Frederick James Temple In 100 Years of Mathematics: a Personal Viewpoint (1981).


Figure 1: Jean-Baptiste Joseph Fourier(source wikipedia)

The Fourier Series is a very important mathematics tool discovered by Jean-Baptiste Joseph Fourier in the 18th century. The Fourier series is used in many important areas of science and engineering. They are used to give an analytical approximate description of complex periodic function or series of data.  In this blog, I am going to give a short introduction to it.

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La Serie​ di Taylor

La serie di Taylor è un utilissimo strumento matematico. In questo blog, ne darò una breve descrizione dando qualche esempio di applicazione.

Chi è il signor Taylor?

Brook Taylor (1685 – 1731) era un matematico britannico del XVII secolo che ha dimostrato la formula che porta il suo nome, e l’argomento di questo blog, nel volume Methodus Incrementorum Directa et Inversa (1715). Maggiori informazioni si possono trovare nella corrispondente pagina della wikipedia.

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Platonic Solid and Chemistry: the Icosahedral Boron Clusters

Boron is the fifth element in the periodic table. It is also the first element of the boron group or the group thirteenth of the periodic table. It is a metalloid element, meaning its properties are between a metal and a nonmetal. The chemical symbol for boron is B, which has an atomic weight of 10.81 grams per mole.

The position of the Boron element in the periodic table. Figure generated using Mendeleev’s Dream program.

In its ground state, a boron atom contains five electrons arranged in two energy levels. The first energy level, or shell, can hold up to two electrons, while the second can hold up to eight. However, boron has three valence electrons, meaning only the first two energy levels are filled, leaving the third energy level partially empty.

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The Almighty​ Curcumin

Curcumin is a polyphenol derived from the root of turmeric (Curcuma longa) that it is widely used as a dietary spice and natural food colouring agent throughout the world.

Figure 1: Turmeric plant. source: Franz Eugen Köhler, Köhler’s Medizinal-Pflanzen
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The Taylor Series

The Taylor series is a mathematical tool that, sometimes, it is not easy to immediately grasp by freshman students. In this blog, I will give a short review of it giving some examples of applications.

Who is Mr. Taylor?

Brook Taylor (1685 – 1731) was a 17th-century British mathematician. He demonstrated the celebrated Taylor formula, the topics of this blog, in his masterwork Methodus Incrementorum Directa et Inversa (1715). For more information, just give a read to the following wiki page.

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Modelling Natural Pattens and Forms I: Sunflowers Florets and the Golden Ratio

Il girasole piega a occidente
e già precipita il giorno nel suo
occhio in rovina … 
from the poem  “Quasi un madrigale” by Salvatore Quasimodo.

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Il Guscio di una Chiocciola Ciociara e la sua Digitalizazione 3D con l’algoritmo Structure-from-Motion

Viva la Chiocciola,
viva una bestia
che unisce il merito
alla modestia.
Essa all’astronomo
e all’architetto
forse nell’animo
destò il concetto
del cannocchiale
e delle scale:
viva la Chiocciola
caro animale…

La Chiocciola di Giuseppe Giusti (1847)

Introduzione

La bella poesia del Giusti esprime la piacevole simpatia che infonde questo piccolo abitante dei nostri giardini. Sono sempre stato affascinato da questo gasteropode, tanto che è stato uno degli invertebrati favoriti per le mie giovanili osservazioni naturalistiche amatoriali. Inoltre, ricordo ancora con piacere e nostalgia la raccolta di quelle chiamate in dialetto ciociaro ‘ciammaruchelle‘, ovvero delle chiocciole piccoline. Queste si raccoglievano a manciate nei campi di grano dopo la mietitura. Era una delle varie tradizioni culinarie che coinvolgevano ogni anno tutta la mia famiglia e venivano portate a termine con assidua devozione. La raccolta veniva organizzata con un’accurata scelta di tempi, luoghi e condizioni meteorologiche per aumentare la probabilità di successo. Solitamente si tornava a casa con un ricco e gustoso bottino, ma non senza patimenti, visto che le piccole lumache si arrampicavano sulle piante di cardo (Cynara cardunculus L., 1753) dove si nascondevano tra le spine per proteggersi dai predatori. Per loro sfortuna, il predatore Homo Sapiens Sapiens Frusinenses, dotato di vista acuta e grande tenacia, non mollava facilmente la sua preda!

La specie raccolta era varietà della chiocciola Eobania vermiculata o “rigatella”, molto comune nelle regioni mediterranee. Le ciammaruchelle venirano raccolte in ceste di vimini e una volta tornati a casa, venivano rinchiuse dentro gabbie circolari con pareti di rete a piccole maglie per vari giorni per spurgarne l’intestino del contenuto. Venivano quindi cucinate per qualche ora in un sugetto di pomodoro speziato con mentuccia (Clinopodium nepeta) con una ricetta di origini antiche. Il piatto veniva poi consumato con pane fresco o meglio infornato per renderlo croccante. Una sonora festa di profumi, sapori e colori: il suono dei risucchi nel tentativo di svuotare i gusci del loro succulento contenuto. Una delicata festa di odori e sapori: il profumo del pomodoro aromatizzato dalla carne della chiocciola e dalla mentuccia, combinato con il suo colore rosso variagato dalle striature bianco-marroncino del guscio delle ciammaruchelle.

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