Note di Meccanica Classica

In questo blog vengono derivate alcune equazioni fondamentali della meccanica classica che sono anche alla base del metodo della simulazione di Dinamica Molecolare.

Equazioni di Lagrange

La forza agente su una particella {i} di massa {m_i} nella posizione {(x_i, y_i, z_i)} è data dall’equazione di Newton:

\vec{F_i} =m_i \vec{a_i}

avente componenti

\begin{aligned} F_{x_i}&=&m_i\frac{d^2 x_i}{dt^2} \\F_{y_i} &=&m_i\frac{d^2 y_i}{dt^2} \\ F_{z_i} &=& m_i \frac{d^2 z_i}{dt^2} \end{aligned}

che in forma vettoriale si esprime come

\displaystyle \vec{F_i} =m_i \frac{d^2 \vec{r}_i}{dt^2 } \qquad(1)

con {\vec{r}=x_i\vec{i}+y_i\vec{j}+z_i\vec{k}} e, quindi, {F_i=F_{x_i}\vec{i}+F_{y_i}\vec{j}+F_{z_i}\vec{k}.}

Consideriamo di trattare solo forze conservative, ovvero forze il cui lavoro totale effettuato lungo un percorso chiuso è uguale a zero. Per tali vale la relazione:

\vec{F_i} =-\vec{\nabla}_i \mathcal{V} \ \ \ \ \ (2)

dove {\mathcal{V}(x,y,z)} è  l’energia potenziale del sistema e {\vec{\nabla}} il laplaciano definito come:

\displaystyle \vec{\nabla}_i= \frac{\partial }{x_i}\vec{i}+\frac{\partial}{y_i}\vec{j}+\frac{\partial}{z_i}\vec{k} \ \ \ \ \ (3)

L’energia cinetica, {\mathcal{T}_i} della particella è  una funzione delle tre derivate rispetto al tempo:

\begin{aligned} \frac{d x_i}{dt} &=& \dot{x}_i\\ \frac{d y_i}{dt} &=& \dot{y}_i\\ \frac{d z_i}{dt} &=& \dot{z}_i \end{aligned}

ovvero,

\mathcal{T}_i = \frac{1}{2} m_i \left(\dot{x}_i+\dot{y}_i+\dot{z}_i\right). \ \ \ \ \ (4)

che in notazione vettoriale si puo’ esprimere anche in questo modo:

\mathcal{T}_i = \frac{1}{2} m_i \left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right) \left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right). \ \ \ \ \ (5)

L’energia cinetica totale di un sistema di {n} particelle é uguale a

{\bf T}=\sum_i \mathcal{T}_i = \frac{1}{2} \sum_i \left[m_i \left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right) \left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right) \right]. \ \ \ \ \ (6)

modifichiamo le equazioni di Newton applicando quelle dell’energia cinetica appena derivate

\begin{aligned} m_i\frac{d^2 \vec{r_i}}{d^2 t} &= m_i\left( \frac{d^2 \vec{x_i}}{d^2 t} \vec{i}+\frac{d^2 \vec{y_i}}{d^2 t}\vec{j}+\frac{d^2 \vec{z_i}}{d^2 t}\vec{k} \right)= \\&= \left( \frac{d(m_i \dot{x_i})}{d^2 t} \vec{i}+\frac{d(m_i \dot{y_i})}{d^2 t}\vec{j}+\frac{d(m_i \dot{z_i})}{d^2 t}\vec{k} \right)= \\&= \left[ \frac{d} {d t} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{x_i}} \right) \vec{i}+\frac{d}{d t}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{y_i}} \right) \vec{j}+\frac{d}{d t} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{z_i}} \right) \vec{k} \right] \end{aligned}

Quindi:

\begin{aligned} F_{x_i} &=& \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{z_i}} \right) \\F_{y_i} &=& \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{y_i}} \right) \\F_{z_i} &=& \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{z_i}} \right)\end{aligned}

Usando la relazione (3) per il secondo membro dell’equazioni di Newton otteniamo per ogni particella:

\begin{aligned} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{z_i}} \right) &=& -\frac{\partial V}{\partial x_i} \equiv \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{z_i}} \right) +\frac{\partial V}{\partial x_i} =0 \\\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{y_i}} \right) &=& -\frac{\partial V}{\partial x_i} \equiv \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{y_i}} \right) + \frac{\partial V}{\partial x_i}=0  \\ \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{z_i}} \right) &=& -\frac{\partial V}{\partial x_i} \equiv \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{z_i}} \right) + \frac{\partial V}{\partial x_i}=0 \end{aligned}

Per semplificare le precedenti espressioni introduciamo una nuova funzione chiamata Lagrangiana:

\displaystyle \mathcal{L}(x_i,y_i,z_i;\dot{x_i},\dot{y_i},\dot{z_i}) = T-V \ \ \ \ \ (7)

Usando {\mathcal{L}} è facile verificare che per ogni coordinata valgono le seguenti relazioni:

\begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial \dot{x_i}} &=& \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x_i}} \\\frac{\partial V}{\partial x_i} &=& \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} \end{aligned}

che danno

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \dot{x_i}} \right)- \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial {x_i}}=0

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \dot{y_i}} \right)- \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial {y_i}}=0

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \dot{z_i}} \right)- \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial {z_i}}=0

Pertanto abbiamo tre equazioni di Lagrange per particella o una per coordinata. L’equazioni di Lagrange non dipendono dal sistema di coordinate scelto, possiamo pertanto generalizzale le precedenti espressioni in sistema di coordinate qualunque introducendo le coordinate generalizzate {(q_1,q_2,\dots,q_j,\dots,q_{3N},t).}

In questo nuovo sistema le equazioni di Lagrange sono invarianti e per ogni {q_j} possiamo scrivere l’equazione:

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \dot{q_j}} \right)- \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial {q_j}}=0

Esempio d’ applicazione dell’equazioni di Lagrange

\begin{aligned} x &= r\cos{\phi} \\y &= r\sin{\phi} \\{\dot x} &= {\dot r}\cos{\phi}-r{\dot{\phi}}\sin{\phi}  \\{\dot y} &= {\dot r}\sin{\phi}-r{\dot{\phi}}\cos{\phi}\end{aligned}

L’energia cinetica del sistema è uguale a

\begin{aligned} T&= \frac{1}{2} m \left( {\dot x}^2+{\dot y}^2 \right) \\ &= \frac{1}{2} m \left( {\dot r}^2{\cos^2 \phi} + r^2{\sin^2 \phi} + {\dot r}^2 {\dot \phi}^2{\sin^2 \phi} + {\dot r}^2 {\dot \phi}^2{\cos^2 \phi} - 2r{\dot r}{\dot \phi}{\cos\phi}{\sin\phi} + 2r{\dot r}{\dot \phi}{\cos\phi}{\sin\phi} \right) \\&= \frac{1}{2} m \left( {\dot r}^2+{r}^2 {\phi}\right) \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial r} &= mr{\dot \phi}^2 \\\frac{\partial T}{\partial \phi} &= 0 \\\frac{\partial T}{\partial {\dot r}}&= m {\dot r} \\\frac{\partial T}{\partial {\dot \phi}} &= mr^2{\dot \phi} \end{aligned}

inoltre valgono anche le seguenti relazioni:

\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial r} \right) &= m{\ddot r} \\\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot \phi}}\right) &= mr^2{\ddot \phi} + 2mr {\dot r}{\dot \phi} \end{aligned}

in queste ultime equazioni abbiamo usato la relazione {{\ddot q_j}=\frac{d^2q_j}{dt^2}.} Le derivate dell’energia potenziale rispetto alle coordinate generalizzate si possono scrivere come segue

\displaystyle \frac{\partial V}{ \partial q_j} = \sum_j \left( \frac{\partial V}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} + \frac{\partial V}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial q_j} + \frac{\partial V}{\partial z_i} \frac{\partial z_i}{\partial q_j} \right) \ \ \ \ \ (8)

o in notazione vettoriale:

\displaystyle \frac{\partial V}{ \partial q_j} = \nabla_i V \cdot \frac{\partial {\bar r}}{\partial q_j} \ \ \ \ \ (9)

poichè

\displaystyle \nabla_i V = {\bar i} \frac{\partial V}{\partial x_i} + {\bar j} \frac{\partial V}{\partial y_i} +{\bar k} \frac{\partial V}{\partial z_i} \ \ \ \ \ (10)

\displaystyle \frac{\partial {\bar r}}{\partial q_j} = {\bar i} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} + {\bar j} \frac{\partial y_i}{\partial q_j} +{\bar k} \frac{\partial z_i}{\partial q_j} \ \ \ \ \ (11)

applicando queste equazioni al sistema di riferimento dato nell’esempio otteniamo:

\begin{aligned}  \frac{\partial V}{\partial r} &= \nabla V \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} =-F \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial r}=-F\cdot {\hat r} =-F_r \\\frac{\partial V}{\partial \phi}&=\nabla V \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} =-F \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi}=-rF\cdot {\hat \phi} =-rF_{\phi} \end{aligned}

In cui {f_r} e {f_{\phi}} sono le componenti di {F} secondo le direzioni {r} e {\phi} rispettivamente. Le equazioni di Lagrange per questo sistema si possono quindi scrivere come:

\begin{aligned}  \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \dot{r}} \right)- \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial {r}}&=0\\\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial \dot{\phi}} \right)- \frac{\partial \mathcal{L}} {\partial {\phi}}&=0\end{aligned}

o più esplicitamente come

\begin{aligned} F_r&=m{\ddot r}-mr{\dot\phi}^2 \\rF_{\phi}&= mr^2{\ddot \phi}+2mr{\dot r}{\dot \phi} \end{aligned}

 in cui:

  • {mr{\dot\phi}^2 \rightarrow} la forza centrifuga o accelerazione centripeta (a seconda del segno).
  • {mr^2 \rightarrow} il momento d’inerzia.
  • {rF\phi \rightarrow} la torsione.
  • {2m{\dot r}{\dot \phi} \rightarrow} la Forza di Coriolis.
  • {mr^2{\dot \phi} \rightarrow} il momento angolare {\mathcal{L}}.

Pertanto possiamo anche scrivere \displaystyle \frac{d}{dt}{\mathcal L}=rF_{\phi} \ \ \ \ \ (12)

Se il valore della torsione è zero allora {\mathcal{L}} è costante e quindi il momento angolare del sistema si conserva.

Le equazioni di Hamilton

William Rowan Hamilton nel 1833 formulò  un nuovo approccio alla meccanica classica gettando le basi a quella che poi sarebbe diventata la meccanica Hamiltoniana. Nelle equazioni di Hamilton, che hanno come punto di partenza quelle di Lagrange, i momenti coniugati, {p_j}, definiti come

\displaystyle p_j=\frac{\partial L(q_j,\dot q_j)}{\partial \dot q_j} \ \ \ \ \ (13)

si sostituiscono alle velocità; {\dot q_j}. I momenti coniugati in coordinate cartesiani si riducono alla classica equazione dei momenti. Per esempio

\displaystyle p_{x_j}=\frac{\partial L(x_j,\dot x_j)}{\partial \dot x_j}=\frac{\partial T(x_j,\dot x_j)}{\partial \dot x_j}=m \dot x_j =m v_{x_j} \ \ \ \ \ (14)

La nuova funzione chiamata, {\mathcal{H}}, è pertanto definita come

\displaystyle \mathcal{H}(p,q)=\sum_j(\dot q_j, p_j)-L(q_j,\dot q_j) \ \ \ \ \ (15)

Calcoliamo la forma differenziale della precedente espressione

\displaystyle d\mathcal{H}=\sum_j \dot q_j dp_j + \sum_j d\dot q_j p_j -\sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}d\dot q_j -\sum_j - \frac{\partial L}{\partial q_j}d q_j \ \ \ \ \ (16)

poichè

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}&=&p_j\\\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot w_j}\right) &=& 0 \end{aligned}

oppure

\displaystyle \frac{d p_j}{dt} = \dot p_j = \frac{\partial L}{\partial q_j} \ \ \ \ \ (17)

per cui

\displaystyle d\mathcal{H}=\sum_j \dot q_j dp_j + \sum_j d\dot q_j p_j -\sum_j p_j d\dot q_j -\sum_j \dot p_j d q_j= \sum_j \dot q_j dp_j -\sum_j \dot p_j d q_j. \ \ \ \ \ (18)

Il differenziale totale di {\mathcal{H}(p,q)} è  uguale a

\displaystyle d\mathcal{H}= \sum_j \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j}d q_j -\sum_j - \frac{\partial \mathcal{H}}{p_j}d p_j \ \ \ \ \ (19)

in tal modo dalla Equ. (18) and (19) risulta che ogni particella {j} viene descritta dalle seguenti equazioni

\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial q_j}&=&-\dot p_j\\\frac{\partial H}{\partial p_j}&=&\dot q_j \end{aligned}

pertanto in {\mathcal{H}^3} per un sistema a {N} particelle si avranno un totale di {2x3xN} equazioni di Hamilton.

Queste equazioni costituiscono un sistema di equazioni differenziali ordinarie accoppiate del {1^o} ordine che sostituiscono le {3N} equazioni differenziali del secondo ordine di Lagrange, con il vantaggio di una maggiore semplicità risolutiva.

Proprietà dell’ equazioni di Hamilton

Le equazioni di Hamilton non variano con il tempo se la Lagrangiana (e di conseguenza l’Hamiltoniano) non dipendono explicitamente dal tempo.

DIMOSTRAZIONE

\begin{aligned} d\mathcal{H} &= \frac{d}{dt} \left[ \sum_j \dot q_j dp_j -\sum_j \dot p_j d q_j \right]=\sum_j \left[ p_j\ddot q_j + \dot p_j\dot q_j -\frac{\partial L}{q_j}\dot q_j - \frac{\partial L}{\dot q_j}\ddot q_j \right] \\&= \sum_j \left[ p_j\ddot q_j + \dot p_j\dot q_j - \dot p_j\dot q_j - p_j\ddot q_j \right]=0 \end{aligned}

L’Hamiltoniano è uguale all’energia totale del sistema (ovvero la somma dell’energia cinetica T e quella potenziale V) se le trasformazioni di coordinate non dipendono esplicitamente dal tempo.

In coordinate cartesiane l’Hamiltoniano è  uguale a

\begin{aligned} d\mathcal{H} &= \sum_j\left( \dot x_j p_{x_j}+ \dot y_j p_{y_j} + \dot z_j p_{z_j} \right) - L \\&= \sum_j m_j\left( (\dot x_j)^2 + (\dot y_j)^2 + (\dot z_j)^2 \right) - (T-V) \\&=  2T-T-V=T+V \end{aligned}

Un esempio di applicazione dell’ equazioni di Hamilton

In questo esempio considereremo il modo di una particella sottoposta ad un campo di forze centrali, ovvero di forze che agiscono solo lungo il raggio vettore che unisce il centro del sistema di riferimento con la particella. In tal modo le forze sono descritte da un potenziale che dipende solo dalla distanza {r} dal centro. Questo è un caso molto comune in natura, si pensi infatti alla forza di gravitazione o alla forza elettrostatica che attrae gli elettroni verso il nucleo atomico.

Conviene descrivere un sistema di questo tipo usando coordinate sferiche descritte nello schema che segue

La relazione tra le coordinate sferiche e quelle cartesiane è  data dalle equazioni

\begin{aligned} x &= r\sin\theta \cos \phi \\ y &= r\sin \theta \sin \phi \\z &= r\cos \theta \end{aligned}

Scriviamo la Lagrangiana del sistema per calcolare i movimenti associati

\displaystyle \mathcal{L=T-V}=\frac{m}{2}\left( {\dot x}^2 + {\dot y}^2 + {\dot z}^2\right) - \mathcal{V}(r) \ \ \ \ \ (20)

Le derivate delle componenti sono

\begin{aligned}  \dot x &= \dot r \sin\theta \cos \phi +\dot \theta r \cos \theta \cos\phi - \dot \phi r \cos \theta \sin\phi\\\dot y &= \dot r \sin\theta \sin \phi +\dot \theta r \cos \theta \sin \phi + \dot \phi r \cos \theta \cos\phi\\\dot z &= \dot r \cos \theta - \dot \theta r \sin \theta \end{aligned}

sommando le espressioni precedenti otteniamo

\displaystyle {\dot x}^2 + {\dot y}^2 + {\dot z}^2 = {\dot r}^2 +r^2{\dot \theta}^2 + r^2{\dot \phi}^2 \sin^2 \theta \ \ \ \ \ (21)

possiamo quindi scrivere la Lagrangiana in coordinate polari come segue

\displaystyle \mathcal{L}= \frac{m}{2} \left( {\dot r}^2 +r^2{\dot \theta}^2 + r^2{\dot \phi}^2 \sin^2 \theta \right) -\mathcal{V}(r) \ \ \ \ \ (22)

e, quindi, i momenti associati possono essere calcolati come segue:

\begin{aligned} p_r &=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot r}=m\dot rp_{\theta}&=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot \theta}=m r^2 \dot \theta \\p_{\phi}&=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot \phi}=m r^2 {\dot \phi}^2 \theta. \end{aligned}

Possiamo quindi definire l’ Hamiltoniana del sistema come

\displaystyle \mathcal{H}= \mathcal{T}+\mathcal{V}=\frac{1}{2m}\left( p_r^2 +\frac{p_{\theta}^2}{r^2} +\frac{p_{\phi}^2}{r^2 \sin^2 \theta} \right) +\mathcal{V}(r) \ \ \ \ \ (23)

L’equazioni di Hamilton si ottengono differenziando l’Hamiltoniana

\begin{aligned} \dot p_r &= -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial r} = \frac{1}{m} \left( \frac{p^2_{theta}}{r^3} + \frac{p^2_{\phi}}{r^3 \sin^2 \theta} \right) -\frac{d\mathcal{V}(r)}{d r}\\\dot p_{\theta} &= -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \theta} = \frac{1}{m} \left( \frac{p^2_{theta}\cos \theta}{r^2 \sin^3 \theta} \right) \\\dot p_{\phi} &= -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \phi} = 0  \end{aligned}

Differenziando rispetto ai momenti si ottengono le equazioni equivalenti alle precedenti

\begin{aligned} \dot r &= -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_r} = \frac{p_r}{m} \\ \dot \theta &= -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{\theta}} = \frac{p_{\theta}}{mr^2 }\\ \dot \phi &= -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{\phi}} = \frac{p_{\phi}}{mr^2 \sin^2 \theta} \end{aligned}

Le equazioni del moto si semplificano notevolmente se vincoliamo il sistema a muoversi solo in un piano. In questo caso, il vettore velocità e il raggio vettore {r}, definiscono (quando non sono co-lineari) un piano. In questo sistema le forze sul piano che agiscono sulla particella sono la forza centrifuga (che agisce lungo il raggio vettore) e quella centrifuga (che agisce lungo il vettore velocità). Scegliamo il piano definito da {\theta=\pi/2}, in tal modo le equazioni (3) diventano

\begin{aligned} \dot p_r &= \frac{1}{m} \left( \frac{p^2_{theta}}{r^3} + \frac{p^2_{\phi}}{r^3} \right) -\frac{d\mathcal{V}(r)}{d r} \\\dot p_{\theta} &= 0 \\\dot p_{\phi} &= 0 \end{aligned}

e

\begin{aligned} \dot r &=& = \frac{p_r}{m}  \\\dot \theta &=& = \frac{p_{\theta}}{mr^2 } \\\ \dot \phi &=& = \frac{p_{\phi}}{mr^2 } \end{aligned}

essendo {\dot theta=0} si ha che {p_{\theta}/mr^2 =0} ovvero {p_{\theta}=0}. Inoltre essendo {\dot p_{\phi}=0}, si ottiene che {p_{\phi}=l}, dove {l}, il momento angolare, è  una costante. Le equazioni (3) e (24) si semplificano in questo modo

\begin{aligned} \dot p_r &= \frac{1}{m}\frac{l^2}{r^3} -\frac{d\mathcal{V}(r)}{d r} \\\dot p_{\theta} &= 0 \\\dot p_{\phi} &= 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \dot r &= \frac{p_r}{m} \\\dot \theta &= 0 \\\dot \phi &= \frac{l}{mr^2 } \end{aligned}

Per ottenere la soluzione di questo sistema dobbiamo risolvere le equazioni radiale

\displaystyle \dot p_r = \frac{d(m \dot r)}{dt} = m \ddot r= \frac{1}{m}\frac{l^2}{r^3} -\frac{d\mathcal{V}(r)}{d r} \ \ \ \ \ (24)

Se la particella si muove entro un piccolo intervallo di valori di {r} si può sviluppare {V(r)} secondo la serie di Taylor:

\displaystyle \mathcal{V}(r)=\mathcal{V}_0 +\left( \frac{d\mathcal{V}}{dr} \right)_{r=r_0}(r-r_0) + \left(\frac{d^2\mathcal{V}}{dr^2} \right)_{r=r_0}(r-r_0)^2 + \dots \ \ \ \ \ (25)

se effettuiamo la sostituzione di variabile {\rho=(r-r_0)} e {d\rho=dr}, possiamo scrivere

\displaystyle -\frac{d\mathcal{V}}{dr}=\frac{d\mathcal{V}}{d\rho}=-\left[\left(\frac{d\mathcal{V}}{dr} \right)_{r=r_0}(r-r_0) + \left(\frac{d^2\mathcal{V}}{dr^2} \right)_{r=r_0}(r-r_0)^2 \right] \ \ \ \ \ (26)

Sviluppiamo il termine {l^2/mr^3} intorno a {r_0}

\displaystyle \frac{1}{m} \frac{l^2}{r^3} = \frac{1}{m} \frac{l^2}{r_0^3} - \frac{3}{m} \frac{l^2}{r_0^4}(r-r_0) + dots \ \ \ \ \ (27)

Sostituendo questa espressione nella equazione radiale (24) si ottiene

\displaystyle m \ddot r= m \ddot \rho = \frac{1}{m}\frac{l^2}{r^3} - \frac{3}{m} \frac{l^2}{r_0^4}\rho -\left(\frac{d\mathcal{V}(r)}{d r}\right)_{r=r_0} - \left(\frac{d^2\mathcal{V}(r)}{d r^2}\right)_{r=r_0}\rho \ \ \ \ \ (28)

Se scegliamo i valori dei parametri in modo che

\displaystyle \frac{1}{m}\frac{l^2}{r^3}-\left(\frac{d\mathcal{V}(r)}{d r}\right)_{r=r_0}=0 \ \ \ \ \ (29)

si ottiene la sequente equazione

\displaystyle m \ddot r= m \ddot \rho = - \left(\frac{3}{m} \frac{l^2}{r_0^4} + \left(\frac{d^2\mathcal{V}(r)}{d r^2}\right)_{r=r_0}\right)\rho \ \ \ \ \ (30)

indicando con {k} il termine tra parentesi tonde nel secondo membro della precedente equazione, questa si semplifica nella equazione differenziale del second ordine

\displaystyle m \ddot \rho = - k\rho \ \ \ \ \ (31)

le cui soluzioni hanno la forma

\displaystyle \rho(t) = A\cos\left( \omega t + \phi \right) \ \ \ \ \ (32)

dove {\omega=\sqrt{k/m}} e A, {\phi} sono costanti arbitrarie che dipendono dalle condizioni iniziali. Questa equazione rappresenta la soluzione del problema di una particella legata ad un centro di forza di potenziale {\mathcal{V}(r).} La soluzione è  buona se le derivate di ordine più elevato del potenziale hanno valori trascurabili e s se il sistema ruota in modo relativamente lento.

 Il teorema di Liouville

Si consideri il comportamento dinamico di un sistema {{\mathcal S}} in un intervallo di tempo {T}. Per osservare il sistema, dividiamo tale intervallo in {n} sottointervalli e per ognuno di essi rappresentiamo le variabili dinamiche del sistema nello spazio delle fasi {{\mathcal F}}. Se l’intevallo di tempo {T} è  stato scelto sufficientemente lungo, l’insieme dei punti così ottenuti sarà proporzionale alla distribuzione di probabilità {\rho(p,q)} degli stati del sistema. L’ipotesi ergodica ({{\mathcal IE}}) della meccanica statistica stabilisce che l’osservazione della dinamica del sistema nel tempo è  equivalente alla osservazione di un numero molto (possibilmente infinito) di repliche del sistema (sistema ergodico see Ich habe mir einmal erlaubt, die durch diese Formel ausgedrückte Zustandsvertheilung unter einer unendlichen Anzahl von Systemen, eine ergodische zu nennen. L. Boltzmann in Vorlesungen über Gastheorie.).

Più rigorosamente la {{\mathcal IE}} afferma che all’istante {t=0}, la rappresentazione nello spazio delle fasi di stato di ognuno delle infinite repliche di {{\mathcal S}} è identica a quella ottenibile studiando per un tempo infinito il sistema stesso. Il comportamento dinamico delle repliche del sistema {{\mathcal S}} nel sistema delle fasi può essere descritto come quello di una gas in uno spazio a 2s dimensioni. Ad ogni istante la distribuzione di probabilità è  sempre uguale così come risulta invariato il numero totale di particelle. Quest’ultima condizione viene descritta dalla cosiddetta equazione di continuità:

\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho v) = 0 \ \ \ \ \ (33)

che nel caso stazionario diventa

\displaystyle div(\rho v) = 0 \ \ \ \ \ (34)

ovvero nel caso di 2s dimensioni

\displaystyle \sum_i^{2s} \frac{\partial}{\partial x_i} (\rho v_i) = 0 \ \ \ \ \ (35)

poichè  le coordinate {x_i} si intendono come impulsi e coordinate generalizate mentre le velocità sono {\dot q} e {\dot p}, l’equazione precedente si può anche scrivere

\displaystyle \sum_{i=1}^{s} \left[\frac{\partial (\rho \dot q_i )}{\partial q_i } + \frac{\partial (\rho \dot p_i)}{\partial p_i} \right] =0 \ \ \ \ \ (36)

ovvero sviluppando le derivate

\displaystyle \sum_{i=1}^{s} \left[ \dot q_i\frac{\partial \rho }{\partial q_i} + \dot p_i\frac{\partial \rho }{\partial p_i}\right] + \rho \sum_{i=1}^{s} \left[ \frac{\partial \dot q_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot p_i}{\partial p_i} \right] = 0 \ \ \ \ \ (37)

sostituendo le relazioni di Hamilton

\begin{aligned}  \dot p_i &=& - \frac{\partial H}{\partial q_i} \\ \dot q_i &=& \frac{\partial H}{\partial p_i} \end{aligned}

dove {H(p,q)} è  l’Hamiltoniano del sistema in esame, si trova che

\displaystyle \frac{\dot q_i}{\partial q_i} =\frac{\partial ^2 H}{ \partial q_i \partial p_i } = -\frac{\dot p_i}{\partial p_i} \ \ \ \ \ (38)

Ne deriva che il secondo termine della equazione (38) è nullo e quindi

\displaystyle \sum_{i=1}^{s} \left[ \dot q_i\frac{\partial \rho }{\partial q_i} + \dot p_i\frac{\partial \rho }{\partial p_i}\right] = \frac{d\rho}{dt} = 0 \ \ \ \ \ (39)

Quest’ultima espressione mostra che il differenziale totale della distribuzione di probabilità e’ nullo, questo significa che la funzione {\rho} è costante lungo le traiettorie dello spazio delle fasi del sistema (Teorema di Liouville). Questo teorema è vero per tempi  molto lunghi e per sistemi isolati.

About Danilo Roccatano

I have a Doctorate in chemistry at the University of Roma “La Sapienza”. I led educational and research activities at different universities in Italy, The Netherlands, Germany and now in the UK. I am fascinated by the study of nature with theoretical models and computational. For years, my scientific research is focused on the study of molecular systems of biological interest using the technique of Molecular Dynamics simulation. I have developed a server (the link is in one of my post) for statistical analysis at the amino acid level of the effect of random mutations induced by random mutagenesis methods. I am also very active in the didactic activity in physical chemistry, computational chemistry, and molecular modeling. I have several other interests and hobbies as video/photography, robotics, computer vision, electronics, programming, microscopy, entomology, recreational mathematics and computational linguistics.
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