La Serie​ di Taylor

La serie di Taylor è un utilissimo strumento matematico ma a volte difficile da comprendere per gli studenti. In questo blog, ne darò una breve descrizione dando qualche esempio di applicazione.

Chi è il signor Taylor?

Brook Taylor (1685 – 1731) era un matematico britannico del XVII secolo che ha dimostrato la formula che porta il suo nome, e l’argomento di questo blog, nel volume Methodus Incrementorum Directa et Inversa (1715). Maggiori informazioni si possono trovare nella corrispondente pagina della wikipedia.

Il Teorema di  Taylor

Sia k ≥ 1 un numero intero e lascia che la funzione f : RR sia k volte differenziabile nel punto aR. Allora esiste una funzione h k : RR tale che

f(x)=f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 +\dots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k

Il polinomio della serie è chiamato polinomio Taylor di ordine- k :

 P_k(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

la differenza, $R_k(x)$, della serie rispetto alla funzione $f(x)$ è data dalla relazione

 R_k(x)=f(x)-P_k(x),

che dà l’errore nell’approssimare f(x) con il polinomio di Taylor, che può essere scritta anche nella forma:

R_k(x)=o(|x-a|^k),  x\rightarrow a.

La serie MacLaurin

La serie di Taylor fu ampiamente usata dal matematico scozzese Colin MacLaurin (1698-1746) per caratterizzare i massimi, minimi e punti d’inflessione per funzioni infinitamente differenziabili nel suo Treatise of Fluxions. Per i suoi contributi allo sviluppo di questo importante strumento matematico, quando viene usata l’espressione generale data a=0 . la serie è anche chiamata serie Maclaurin.

Un esempio: l’espansione di \cos (x)

La serie MacLaurin per il cos(x) la funzione è data dall’espressione:

\cos x = 1- \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}.

Nei seguenti pannelli viene riportata l’espansione per k = 1, 2, 3, 6 e 10 termini (il programma per generare queste figure si trova nel corrispondente blog in Inglese). La funzione è mostrata in rosso, la serie in nero e la differenza in colore blu.

 

Alcuni esempi di serie di MacLaurin

Alcune delle serie Maclaurin comunemente usate includono:

e^x  = 1+ x+ \frac{x^2}{2!} + + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},

\sin x = x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1},

\frac{1}{1+x} = 1- x+x^2 - \dots, \text{for } |x| <1

\ln(1+x) = x- \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} - \dots, \text{for } |x| <1

È possibile utilizzare il programma citato precedentemente per esplorare graficamente le serie di MacLaurin di alcune di queste funzioni.

Serie di Taylor multivariata

La serie di Taylor può essere facilmente generalizzata alle funzioni a più variabili. Per esempio si prenda in considerazione il f:\mathbf{R^2}\rightarrow \mathbf{R^2} , k volte differenziabile nel punto (a,b) \in \mathbf{R^2}. L’espansione di Taylor per k = 4 è data dalla espressione:

f(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+\frac{1}{2!}\left[f_{xx}(a,b) (x-a)^2+ 2f_{xy}(a,b) (x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-a)^2\right]+\frac{1}{3!}\left[f_{xxx}(a,b)(x-a)^3+3f_{xxy}(a,b)(x-a)^2(y-b)+3f_{xyy}(a,b)(x-a)(y-b)^2 +f_{yyy}(a,b)(y-a)^3\right]+\frac{1}{4!}\left[f(x,y)_{xxxx}(x-a)^4+4f_{xxxy}(x-a)^3(y-b)+6f_{xxyy}(x-a)^2(y-b)^2+f_{yyyx}(x-a)(y-b)^3 + f_{yyyy}(y-b)^4\right]

Un esempio

Vediamo come esempio la funzione

F(x,y)=\cos(x) \cos(y)

Il secondo ordine della serie di Taylor è dato da

f(x,y)= F(a,b)+\sin(x)\cos(y)(x-a) + \cos(x)\sin(y)(y-b)+\frac{1}{2!}\left[-\cos(x)\cos(y) (x-a)^2+ 2\sin(x)\sin(y)(x-a)(y-b) -\cos(x)\cos(y)(y-b)^2\right] + \frac{1}{3!}\left[ \sin(x)\cos(y)(x-a)^3+3\cos(x)\sin(y)(x-a)^2(y-b)+3\sin(x)\cos(y)(x-a)(y-b)^2+\cos(x)\sin(y)(y-b)^3\right] + \frac{1}{4!}\left[\cos(x)\cos(y)(x-a)^4-4\sin(x)\sin(y)(x-a)^3(y-b)+6\cos(x)\cos(y)(x-a)^2(y-b)^2-\sin(x)\sin(y)(x-a)(y-b)^3 + \cos(x)\cos(y)(y-b)^4\right]

Nel caso della serie di MacLaurin con (a,b)\equiv(0,0) la precedente espressione si riduce a

f(0,0)= 1-\frac{1}{2}\left[(x)^2 + (y)^2\right]+\frac{1}{24}\left[ x^4 +x^2y^2+y^4\right]

Nella Figura 2 vengono mostrati la funzione e la serie di MacLaurin troncata al secondo ordine.

 

2D

Figura 2: La funzione F(x,y) è mostrata come una griglia forata, mentre la sua approssimazione al secondo ordinedi MacLaurin  come superfice continua colorata secondo il valore della coordinata z. Il grafico è stato prodotto usando il programma Grapher. 

Nella Figura 3 viene mostrata anche l’approssimazione al quarto ordine della serie. Si noti che il terzo ordine della espansione non contribuisce alla serie in quanto le derivate parziali calcolate a (0,0) sono nulle.

 

2D4order

Figura 3: La funzione F(x,y) è mostrata come una superficie a griglia forata, mentre la sua approssimazione, al quarto ordine di MacLaurin,  come superfice continua colorata secondo il valore della coordinata z.

 

 

 

 

About Danilo Roccatano

I have a Doctorate in chemistry at the University of Roma “La Sapienza”. I led educational and research activities at different universities in Italy, The Netherlands, Germany and now in the UK. I am fascinated by the study of nature with theoretical models and computational. For years, my scientific research is focused on the study of molecular systems of biological interest using the technique of Molecular Dynamics simulation. I have developed a server (the link is in one of my post) for statistical analysis at the amino acid level of the effect of random mutations induced by random mutagenesis methods. I am also very active in the didactic activity in physical chemistry, computational chemistry, and molecular modeling. I have several other interests and hobbies as video/photography, robotics, computer vision, electronics, programming, microscopy, entomology, recreational mathematics and computational linguistics.
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