La serie di Taylor è un utilissimo strumento matematico. In questo blog, ne darò una breve descrizione dando qualche esempio di applicazione.
Chi è il signor Taylor?
Brook Taylor (1685 – 1731) era un matematico britannico del XVII secolo che ha dimostrato la formula che porta il suo nome, e l’argomento di questo blog, nel volume Methodus Incrementorum Directa et Inversa (1715). Maggiori informazioni si possono trovare nella corrispondente pagina della wikipedia.
Il Teorema di Taylor
Sia k ≥ 1 un numero intero e lascia che la funzione f : R → R sia k volte differenziabile nel punto a ∈ R. Allora esiste una funzione h k : R → R tale che
Il polinomio della serie è chiamato polinomio Taylor di ordine- k :
la differenza, $R_k(x)$, della serie rispetto alla funzione $f(x)$ è data dalla relazione
che dà l’errore nell’approssimare 
La serie di MacLaurin
La serie di Taylor fu ampiamente usata dal matematico scozzese Colin MacLaurin (1698-1746) per caratterizzare i massimi, minimi e punti d’inflessione per funzioni infinitamente differenziabili nel suo Treatise of Fluxions. Per i suoi contributi allo sviluppo di questo importante strumento matematico, quando viene usata l’espressione generale data . la serie è anche chiamata serie Maclaurin.
Un esempio: l’espansione di 
La serie MacLaurin per il 
Nei seguenti pannelli viene riportata l’espansione per k = 1, 2, 3, 6 e 10 termini (il programma per generare queste figure si trova nel corrispondente blog in Inglese). La funzione è mostrata in rosso, la serie in nero e la differenza in colore blu.
Altri esempi di serie di MacLaurin
Alcune delle serie Maclaurin comunemente usate includono:
È possibile utilizzare il programma citato precedentemente per esplorare graficamente le serie di MacLaurin di alcune di queste funzioni.
Serie di Taylor multivariata
La serie di Taylor può essere facilmente generalizzata alle funzioni a più variabili. Per esempio si prenda in considerazione il , k volte differenziabile nel punto 
![f(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+\frac{1}{2!}\left[f_{xx}(a,b) (x-a)^2+ 2f_{xy}(a,b) (x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-a)^2\right]+\frac{1}{3!}\left[f_{xxx}(a,b)(x-a)^3+3f_{xxy}(a,b)(x-a)^2(y-b)+3f_{xyy}(a,b)(x-a)(y-b)^2 +f_{yyy}(a,b)(y-a)^3\right]+\frac{1}{4!}\left[f(x,y)_{xxxx}(x-a)^4+4f_{xxxy}(x-a)^3(y-b)+6f_{xxyy}(x-a)^2(y-b)^2+f_{yyyx}(x-a)(y-b)^3 + f_{yyyy}(y-b)^4\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%2Cy%29%3Df%28a%2Cb%29%2Bf_x%28a%2Cb%29%28x-a%29%2Bf_y%28a%2Cb%29%28y-b%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%5Cleft%5Bf_%7Bxx%7D%28a%2Cb%29+%28x-a%29%5E2%2B+2f_%7Bxy%7D%28a%2Cb%29+%28x-a%29%28y-b%29%2Bf_%7Byy%7D%28a%2Cb%29%28y-a%29%5E2%5Cright%5D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7D%5Cleft%5Bf_%7Bxxx%7D%28a%2Cb%29%28x-a%29%5E3%2B3f_%7Bxxy%7D%28a%2Cb%29%28x-a%29%5E2%28y-b%29%2B3f_%7Bxyy%7D%28a%2Cb%29%28x-a%29%28y-b%29%5E2+%2Bf_%7Byyy%7D%28a%2Cb%29%28y-a%29%5E3%5Cright%5D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%21%7D%5Cleft%5Bf%28x%2Cy%29_%7Bxxxx%7D%28x-a%29%5E4%2B4f_%7Bxxxy%7D%28x-a%29%5E3%28y-b%29%2B6f_%7Bxxyy%7D%28x-a%29%5E2%28y-b%29%5E2%2Bf_%7Byyyx%7D%28x-a%29%28y-b%29%5E3+%2B+f_%7Byyyy%7D%28y-b%29%5E4%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=444444&s=0&c=20201002)
Un esempio
Vediamo come esempio la funzione
Il quarto ordine della serie di Taylor è dato da
![f(x,y)= F(a,b)+\sin(x)\cos(y)(x-a) + \cos(x)\sin(y)(y-b)+\frac{1}{2!}\left[-\cos(x)\cos(y) (x-a)^2+ 2\sin(x)\sin(y)(x-a)(y-b) -\cos(x)\cos(y)(y-b)^2\right] + \frac{1}{3!}\left[ \sin(x)\cos(y)(x-a)^3+3\cos(x)\sin(y)(x-a)^2(y-b)+3\sin(x)\cos(y)(x-a)(y-b)^2+\cos(x)\sin(y)(y-b)^3\right] + \frac{1}{4!}\left[\cos(x)\cos(y)(x-a)^4-4\sin(x)\sin(y)(x-a)^3(y-b)+6\cos(x)\cos(y)(x-a)^2(y-b)^2-\sin(x)\sin(y)(x-a)(y-b)^3 + \cos(x)\cos(y)(y-b)^4\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%2Cy%29%3D+F%28a%2Cb%29%2B%5Csin%28x%29%5Ccos%28y%29%28x-a%29+%2B+%5Ccos%28x%29%5Csin%28y%29%28y-b%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%5Cleft%5B-%5Ccos%28x%29%5Ccos%28y%29%C2%A0%28x-a%29%5E2%2B+2%5Csin%28x%29%5Csin%28y%29%28x-a%29%28y-b%29+-%5Ccos%28x%29%5Ccos%28y%29%28y-b%29%5E2%5Cright%5D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7D%5Cleft%5B+%5Csin%28x%29%5Ccos%28y%29%28x-a%29%5E3%2B3%5Ccos%28x%29%5Csin%28y%29%28x-a%29%5E2%28y-b%29%2B3%5Csin%28x%29%5Ccos%28y%29%28x-a%29%28y-b%29%5E2%2B%5Ccos%28x%29%5Csin%28y%29%28y-b%29%5E3%5Cright%5D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%21%7D%5Cleft%5B%5Ccos%28x%29%5Ccos%28y%29%28x-a%29%5E4-4%5Csin%28x%29%5Csin%28y%29%28x-a%29%5E3%28y-b%29%2B6%5Ccos%28x%29%5Ccos%28y%29%28x-a%29%5E2%28y-b%29%5E2-%5Csin%28x%29%5Csin%28y%29%28x-a%29%28y-b%29%5E3+%2B+%5Ccos%28x%29%5Ccos%28y%29%28y-b%29%5E4%5Cright%5D+&bg=ffffff&fg=444444&s=0&c=20201002)
Nel caso della serie di MacLaurin con 
![f(0,0)= 1-\frac{1}{2}\left[(x)^2 + (y)^2\right]+\frac{1}{24}\left[ x^4 +x^2y^2+y^4\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%280%2C0%29%3D+1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%5B%28x%29%5E2+%2B+%28y%29%5E2%5Cright%5D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B24%7D%5Cleft%5B+x%5E4+%2Bx%5E2y%5E2%2By%5E4%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=444444&s=0&c=20201002)
Nella Figura 2 vengono mostrati la funzione e la serie di MacLaurin troncata al secondo ordine.
Nella Figura 3 viene mostrata anche l’approssimazione al quarto ordine della serie. Si noti che il terzo ordine della espansione non contribuisce alla serie in quanto le derivate parziali calcolate a (0,0) sono nulle.
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