Ettore Majorana e L’Equazione di Fermi-Thomas

/ Danilo Roccatano

Perché al mondo vi sono varie categorie di scienziati, gente di secondo e terzo rango, che fa del suo meglio ma non va lontano; c’è anche gente di primo rango, che arriva a scoperte di grande importanza, fondamentali per lo sviluppo della scienza. Ma poi ci sono i geni, come Galileo e Newton. Ebbene Ettore era uno di quelli. (Commento di Enrico Fermi alla notizia della scomparsa di Majorana)

Qualche tempo fa ho rivisto il film su Raiplay in due parti diretto da Gianni Amelio, I ragazzi di via Panisperna. Si tratta di un’opera trasmessa dalla Rai alla fine degli anni Ottanta, molto bella e ben realizzata, che racconta le vicende che portarono alla formazione, negli anni Venti e Trenta, del celebre gruppo di Enrico Fermi presso l’Istituto di Fisica di via Panisperna, all’Università di Roma. Il film si concentra in particolare sulle figure di Ettore Majorana (interpretato da Andrea Prodan) e di Enrico Fermi (Ennio Fantastichini).

L’incontro tra i due è raccontato attraverso una scena memorabile, in cui Majorana è mostrato alla lavagna mentre lavora alla soluzione di un’equazione differenziale (quella che diventerà nota come equazione di Thomas-Fermi), assegnata da Fermi come prova d’ammissione al suo gruppo. Majorana viene osservato nell’aula dallo stesso Fermi, che, fingendosi uno studente del gruppo, gli rivela di essere alle prese con quella stessa equazione da una settimana, insieme ad altri due colleghi. Nella scena successiva, Amelio mette magistralmente in luce la brillantezza di Majorana, che svela a Fermi di aver risolto il problema in una sola notte. La recente raccolta e pubblicazione dei suoi scritti inediti (i Quadernetti, una serie di appunti curati risalenti al periodo dei suoi studi di fisica) a cura del Prof. Salvatore Esposito (Università di Napoli) ha rivelato ulteriori dettagli su questo episodio. Si tratta, in effetti, di una vera e propria competizione matematica tra due geni, nella quale Majorana dimostrò una superiorità più volte riconosciuta dallo stesso Fermi.

La visione del film mi ha spinto ad approfondire lo studio della soluzione numerica di questa equazione. In questo articolo, vorrei condividere alcune riflessioni su questa equazione e sul problema che Fermi ha posto alla brillante Majorana.

L’Equazione di Thomas-Fermi

L’equazione di Thomas-Fermi è un concetto fondamentale nella meccanica quantistica e nella fisica della materia condensata. Essa fornisce un metodo per approssimare il profilo di densità degli elettroni in un atomo o in un solido. Prende il nome da Llewellyn Thomas e Enrico Fermi, che la derivarono negli anni Venti e Trenta.
L’equazione di Thomas-Fermi è un’equazione differenziale che mette in relazione la densità degli elettroni al potenziale elettrostatico in un sistema. Nella sua forma più semplice, l’equazione descrive l’equilibrio tra l’energia cinetica degli elettroni e la repulsione elettrone-elettrone, trascurando gli effetti quantistici.
L’equazione può essere espressa come:

-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \rho + V(\mathbf{r}) \rho = E \rho

dove:

  • ħ è la costante di Planck ridotta
  • m is the electron’s mass
  • \nabla^2 is the Laplacian operator
  • ρ is the electron density
  • V(𝑟) is the effective potential
  • E is the total energy of the system

L’equazione di Thomas-Fermi è stata fondamentale per comprendere il comportamento degli elettroni negli atomi, negli ioni e nei solidi. Fornisce preziose intuizioni sulla distribuzione degli elettroni intorno ai nuclei atomici e sulla risposta degli elettroni a potenziali esterni. Inoltre, l’equazione serve da fondamento per modelli meccanici quantistici più avanzati che incorporano gli effetti dello scambio e della correlazione degli elettroni. Sebbene l’equazione di Thomas-Fermi stessa sia un’approssimazione semiclassica, ha aperto la strada allo sviluppo della teoria della funzionale della densità, ampiamente utilizzata in chimica quantistica e scienza dei materiali. In sintesi, l’equazione di Thomas-Fermi rappresenta una pietra miliare cruciale per la comprensione dei sistemi elettronici, offrendo una prospettiva semplificata ma illuminante sul comportamento degli elettroni in vari contesti fisici.

La soluzione mostrata sulla lavagna nel film è quella ottenuta numericamente. Nei quadernetti di Maiorana è riportata esattamente la derivazione presentata sulla lavagna, insieme alla tabella dei valori numerici. Tuttavia, la genialità di Maiorana non risiede nella soluzione numerica mostrata sulla lavagna, ma è metaforicamente esemplificata nella scena successiva, in cui Fermi e Maiorana si sfidano per risolvere un integrale “difficile”. Fermi segue sulla lavagna un metodo elegante ma tradizionale, dimostrando la sua straordinaria capacità di risolvere problemi al volo. Maiorana, invece, risolve l’integrale in pochi passi, riempiendo appena un piccolo pezzo di carta. Il regista ha probabilmente voluto mettere a confronto la creatività matematica di Maiorana con la potenza di calcolo di Fermi attraverso questa brillante riduzione scenografica. Tuttavia, la genialità di Maiorana che ha attirato l’attenzione di Fermi è stata ben altro come si evince dai Quadernetti. Maiorana aveva trovato un’elegante soluzione analitica dell’equazione di Thomas-Fermi che era sfuggita finora agli autori e ad altri fisici matematici. Vediamo di cosa si tratta. L’equazione di Thomas-Fermi può essere scritta nella seguente forma adimensionale

\frac{d^2\phi}{dx^2}=\frac{\phi^{3/2}}{\sqrt{x}}

con condizioni al contorno

\phi(0)=1, \qquad \phi(\infty)=0 .

Questa è un’equazione non lineare del secondo ordine e negli anni ’20 non si conosceva una soluzione analitica.

Fermi aveva già notato che per x\to\infty

\phi(x) \sim \frac{144}{x^3}.

Majorana usa proprio questa informazione per introdurre una variabile che assorbe il comportamento asintotico. Nel suo quaderno, gli scrive infatti

\phi(x)=\frac{144}{x^3}(1-t)^2 .

Qui t è una nuova variabile che tende a zero all’infinito. Ora Majorana introduce una funzione ausiliaria

u(t) = -\,x\,\frac{d\ln\phi}{dx}.

Questo è il passaggio geniale che trasforma una funzione \phi(x) in una funzione u(t) che elimina l’ordine dell’equazione e la dipendenza esplicita da x e “codifica” la derivata in forma logaritmica. Calcolando la derivata del logaritmo si ottiene

\frac{\phi'}{\phi} = -\frac{u}{x}

quindi \phi' = -\frac{u}{x} \phi.

Ora deriviamo ancora:

\phi'' = -\frac{u'}{x}\phi + \frac{u}{x^2}\phi + \frac{u^2}{x^2}\phi.

(dove u' = \frac{du}{dx}).

Inseriamo tutto in Thomas–Fermi:

-\frac{u'}{x}\phi + \frac{u}{x^2}\phi + \frac{u^2}{x^2}\phi = \frac{\phi^{3/2}}{\sqrt{x}}.

Dividiamo per \phi:

-\frac{u'}{x} + \frac{u}{x^2} + \frac{u^2}{x^2} = \frac{\sqrt{\phi}}{\sqrt{x}}.

Usiamo

\phi=\frac{144}{x^3}(1-t)^2

\sqrt{\phi}=\frac{12}{x^{3/2}}(1-t).

Quindi

\frac{\sqrt{\phi}}{\sqrt{x}}=\frac{12}{x^2}(1-t).

Moltiplichiamo tutto per x^2:

-x u' + u + u^2 = 12(1-t).

Ora arriva il passaggio chiave:

dobbiamo passare da u'(x) a du/dt.

Per costruzione t=t(x), quindi

u' = \frac{du}{dt}\frac{dt}{dx}.

Majorana sceglie opportunamente t(x) proprio in modo che: x\frac{dt}{dx} = 1 - t^2.

Allora x u' = (1-t^2)\frac{du}{dt}.

Sostituendo:

-(1-t^2)\frac{du}{dt} + u + u^2 = 12(1-t).

Riordinando:

(1-t^2)\frac{du}{dt} = u + u^2 - 12(1-t).

Con una semplice riscalatura (assorbendo costanti nella definizione di u) si ottiene la forma standard:

\frac{du}{dt} = \frac{8t\,u^2 - 1}{1-t^2}.

Questa è una equazione di Abel del primo ordine. Le equazioni di Abel hanno la forma

\frac{du}{dt}=a(t)u^3+b(t)u^2+c(t)u+d(t).

Queste sono molto più studiate e si prestano a serie, integrazione numerica efficiente e metodi iterativi. Pertanto, Majorana ha trasformato un’equazione non lineare del secondo ordine in un’equazione del primo ordine. Questo riduce drasticamente la difficoltà del problema. Con questa trasformazione Majorana costruì una soluzione parametrica e una procedura iterativa molto rapida. Fermi confrontò i risultati con i suoi calcoli numerici e trovò un accordo perfetto.

Soluzione Numerica all’Equazione di Fermi-Thomas

Vorrei adesso tornare alla soluzione numerica dell’equazione di Thomas–Fermi e presentare un esempio di soluzione numerica che usa le differenze finite. Questo approccio è descritto nel volume Quantum Mechanics di Slater.

L’equazione di Thomas–Fermi è un’equazione differenziale non lineare e la sua soluzione numerica richiede generalmente l’uso di metodi iterativi. Di seguito viene presentato un esempio basato su un approccio di tipo rilassativo, in cui la soluzione viene ottenuta aggiornando iterativamente il profilo su una griglia discreta fino alla convergenza. Un approccio alternativo consiste nel metodo di shooting, che trasforma il problema ai limiti in un problema ai valori iniziali. Questo metodo è discusso in un altro articolo del mio blog, al quale si rimanda per un confronto tra le due strategie.

Per semplificare i calcoli numerici, L’equazione di Fermi-Thomas viene riscritta in forma adimensionale

\nabla^2 \phi = f(\phi)

dove si trova il potenziale adimensionale e si riferisce alla densità e al potenziale degli elettroni. Per un caso semplificato:

f(\phi) = \phi^{3/2}

Occorre quindi definire le condizioni al contorno delle soluzioni. All’origine (r=0) abbiamo che la funzione ha un valore nullo

\frac{d\phi}{dr} \bigg|_{r=0} = 0

così come per r \to \infty dove \phi \to 0. Si procede quindi con la discretizzazione del dominio spaziale, che viene suddiviso in punti della griglia e le derivate sono approssimate utilizzando le differenze finite:

\frac{d^2 \phi}{dr^2} \approx \frac{\phi_{i+1} - 2\phi_i + \phi_{i-1}}{\Delta r^2}

dove

  • \phi_i rappresenta il valore nel punto i-esimo del reticolo utilizzato per discretizzare l’equazione.
  • \Delta r rappresenta il passo del reticolo.

Per risolvere l’equazione non lineare, utilizziamo un metodo iterativo come il rilassamento successivo (SOR). Partendo da un’approssimazione iniziale, la soluzione viene aggiornata iterativamente:

\phi^{(n+1)}_i = \phi^{(n)}_i + \omega \Delta \phi_i

dove \omega è un fattore di rilassamento. L’iterazione continua fino a quando la soluzione soddisfa un criterio di convergenza:

\|\phi^{(n+1)} - \phi^{(n)}\| < \epsilon

dove c’è una piccola tolleranza (ad es. 1e-6).

Il programma in Python

Seguendo questi passaggi, si può risolvere numericamente l’equazione di Fermi-Thomas per ottenere la densità elettronica o il potenziale elettrostatico. Il semplice programma in Python che segue implementa questo metodo di soluzione.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 200
x_max = 10.0
dx = x_max / N
tolerance = 1e-6

x = np.linspace(dx, x_max, N)
phi = np.ones_like(x)

for iteration in range(10000):
    phi_old = phi.copy()

    for i in range(1, N-1):
        phi[i] = (phi[i-1] + phi[i+1] 
                  - dx**2 * phi[i]**1.5 / np.sqrt(x[i])) / 2

    # boundary conditions
    phi[0] = 1.0
    phi[-1] = 0.0

    if np.max(np.abs(phi - phi_old)) < tolerance:
        print(f"Converged after {iteration} iterations")
        break

plt.plot(x, phi)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('phi')
plt.title('Thomas-Fermi (finite difference)')
plt.grid()
plt.show()

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